Angewandte Mathematik: Body and Soul: [BAND 2] Integrale und by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson (auth.)

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson (auth.)

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28) erkennen wir, dass x ¯ x u(x) − u(¯ x) = 0 f (z)dz − x f (y)dy = 0 f (y)dy x ¯ und x |u(x) − u(¯ x) − f (¯ x)(x − x ¯)| = x = x ¯ f (y) dy − f (¯ x)(x − x ¯) x ¯ x (f (y) − f (¯ x)) dy ≤ x ≤ x ¯ Lf |y − x ¯| dy = x ¯ |f (y) − f (¯ x)| dy 1 Lf (x − x ¯)2 , 2 wobei wir wiederum die Dreiecksungleichung f¨ ur Integrale benutzt haben. Damit haben wir gezeigt, dass u gleichm¨ aßig auf [0, 1] differenzierbar ist und dass Ku ≤ 12 Lf . 470 27. 16), wonach eine Funktion u : [0, 1] → R mit Lipschitz-stetiger Ableitung u (x) und u(0) = 0 mit u(0) = 0 als m u (xi−1 )(xi − xi−1 ) + Eh u(¯ x) = i=1 geschrieben werden kann, mit |Eh | ≤ Ku (¯ x − a)h.

H. durch die Interpretation des Integrals als Fl¨ache. Wir werden beide Beweistechniken markieren, um dem Leser zu helfen, mit verschiedenen Aspekten des Integrals vertraut zu werden. Deswegen u ¨berlassen wir auch einiges an Arbeit f¨ ur die Aufgaben. W¨ ahrend des ganzen Kapitels nehmen wir an, dass f (x) und g(x) auf dem Intervall [a, b] Lipschitz-stetige Funktionen sind und dass N N f (xni−1 )hn i=1 g(xni−1 )hn und i=1 480 28. Eigenschaften von Integralen b wie im vorigen Kapitel Riemannsche Summenn¨aherungen von a f (x) dx b ange hn = 2−n (b − a) sind und xni = a + ihn , und a g(x) dx zur Schrittl¨ n i = 0, 1, .

Wir wiederholen ren wir zun¨ achst die N¨ aherung U n (¯ aus den vorherigen Abschnitten, dass j U n (xnj ) = f (xni−1 )hn , i=1 mit xnj = x ¯. Nun k¨ onnen wir f (xni−1 )hn als die Fl¨ache eines Rechtecks mit Grundseite hn und H¨ ohe f (xni−1 ) betrachten, vgl. Abb. 7. Somit k¨ onnen wir die Summe j f (xni−1 )hn i=1 y = f (x) Fl¨ ache f (xn i−1 ) hn x xn 0 xn 1 xn 2 n xn i−1 xi xn j Abb. 7. Fl¨ ache f (xn i−1 ) hn eines Rechtecks 474 27. Das Integral y = f (x) Fl¨ ache j i=1 f (xn i−1 ) hn x xn 0 xn 1 xn 2 Abb.

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