Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen by Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

By Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

Diese grundlegende Einführung wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt und soll die für das Studium benötigten Konzepte und Werkzeuge aus dem Gebiet der research bereitstellen. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt:

Algorithmischer Zugang

Schlanke Darstellung

Software als integrativer Bestandteil

Betonung von Modellbildung und Anwendungen der research.

Der Gegenstand des Buches liegt im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der gewählte algorithmische Zugang beinhaltet:

Entwicklung der Grundlagen der research aus algorithmischer Sichtweise

Vergegenständlichung der Theorie mittels MATLAB- und Maple-Programmen und Java-Applets

Behandlung grundlegender Konzepte und Verfahren der numerischen research.

Das Buch kann ab dem ersten Semester als Vorlesungsgrundlage, als Begleittext zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden.

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Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen

Diese grundlegende Einführung wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt und soll die für das Studium benötigten Konzepte und Werkzeuge aus dem Gebiet der research bereitstellen. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt:Algorithmischer ZugangSchlanke DarstellungSoftware als integrativer BestandteilBetonung von Modellbildung und Anwendungen der research.

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Somit gilt: z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ). Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z = r(cos ϕ + i sin ϕ), w = s(cos ψ + i sin ψ) in Polardarstellung entspricht dem Produkt der Betr¨age und der Summe der Winkel: zw = rs cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) , was aus den Summenformeln f¨ ur Sinus und Cosinus folgt: sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ, cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ, vgl. 3. 2 Die komplexe Exponentialfunktion Ein wichtiges Hilfsmittel zur Darstellung komplexer Zahlen und Funktionen, aber auch der reellen Winkelfunktionen, bildet die komplexe Exponentialfunktion.

9 angegeben. Der Definitionsbereich beider Funktionen ist D = R. y y = sin x 1 − π2 0 −1 −2π − 3π 2 −6 3π 2 π 2 −π −4 −2 0 x π 2 2π 4 y 6 y = cos x 1 −1 π −π 0 −2π −6 − π2 − 3π 2 −4 −2 x π 2 0 3π 2 2 4 2π 6 Abb. 9. Die Graphen der Funktionen Sinus und Cosinus im Intervall [0, 2π]. Die Graphen der Funktionen y = tan x und y = cot x sind in den Abb. 10 angegeben. Der Definitionsbereich D von Tangens ist wie oben erl¨autert gegeben durch D = {x ∈ R ; x = π2 + kπ, k ∈ Z}, jener von Cotangens ist D = {x ∈ R ; x = kπ, k ∈ Z}.

Anschließend setzt man sin α = sin (x + 2kπ) = sin x, cos α = cos (x + 2kπ) = cos x. Die Funktionen Tangens und Cotangens werden mit Hilfe der Formeln sin α cos α , cot α = cos α sin α ebenfalls fortgesetzt. Da die Funktion Sinus bei den ganzzahligen Vielfachen von π eine Nullstelle hat, ist dort Cotangens nicht definiert. Ebenso ist Tangens bei den ungeraden Vielfachen von π2 nicht definiert. tan α = Die Graphen der Funktionen y = sin x, y = cos x sind in den Abb. 9 angegeben. Der Definitionsbereich beider Funktionen ist D = R.

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